Studium Maschinenbau - Mathematik - Komplexe Zahlen, Definition, komplex konjugierte Zahl, addieren, subtrahieren, multiplizieren, potenzieren, dividieren

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Komplexe Zahlen

Vor dem Hintergrund, dass die Wurzel aus -1 in den reellen Zahlen nicht lösbar ist, wurde die Menge der komplexen Zahlen mit folgender Definition festgelegt

Definition:

j² = -1 bzw.
j = √(-1)

Die Menge der komplexen Zahlen definiert sich wie folgt:
C={z|z = x + jy}
wobei x und y Elemente der reellen Zahlen sind

x wird als Realteil der komplexen Zahl z bezeichnet; Schreibweise: x = Re z
y wird als Imaginärteil der komplexen Zahl z bezeichnet; Schreibweise: y = Im z

Zur komplexen Zahl z gibt es eine komplex konjugierte Zahl, die sich durch ein negatives Vorzeichen vor dem Imaginärteil unterscheidet.
z* = x - jy (komplex Konjugierte Zahl)

Bsp.: z = 1 + 3y , z* = 1 - 3y

Rechenregeln:

z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + j( y₁ + y₂ ) Addition
z₁ - z₂ = x₁ - x₂ + j( y₁ - y₂ ) Subtraktion
z₁ = z₂ <-> x₁ = x₂ und y₁ = y₂ Gleichheit
z₁z₂ = x₁x₂ - y₁y₂ + j( x₁x₂ + y₁y₂ ) Multiplikation
kz = kx + j(ky) Multiplikation mit reller Zahl
|z| = √(x² + y²) Betrag

da 1/z nicht definiert ist, muss bei der Division durch eine komplexe Zahl mit z* erweitert werden:

1/z = (1/z)(z*z*) = z*/|z|² = (x - jy)/(x² + y²) Division

Polarform der komplexen Zahl

Einer komplexen Zahl kann auch ein Punkt in der komplexen Zahlenebene (Gauß-sche Zahlenebene) zugeordnet werden. Dieser Punkt besitzt die Koordinaten P (Re z /Im z) bzw. P (x/y).

Der Winkel, den der Vektor P mit der Re z - (bzw. x-) Achse einschließt, wird als Polarwinkel φ bezeichnet.
Der Betrag des Vektors P enstspricht dem Betrag der komplexen Zahl.

x und y können nun über die Winkelfunktionen in Abhängigkeit von φ dargestellt werden. Daraus ergibt sich die Polarform der komplexen Zahl:

z = |z| * (cos φ + j sin φ) bzw.
z = |z| * e^jφ

oder in der schreibweise der Eulerschen Formel:

e^jφ = cos φ + j sin φ

Beispiel:

z = 1 + 2j
|z| = √(1² + 2²) = √3
φ = + arccos (1/√3) = 54,7?

(In diesem Fall + arccos, da Im z (bzw. y) ≥ 0;
bei Im z (bzw. y) ≤ 0 ist das Vorzeichen negativ)

z = √3 e^j54,7? bzw.
z = √3 (cos 54,7? + j sin 54,7?)

Potenzieren von komplexen Zahlen

Potenzen von komplexen Zahlen werden am einfachsten über die Polarform der komplexen Zahl bestimmt. Dazu wird die komplexe Zahl in Polarform umgerechnet, dann potenziert und zurückgeführt.

zⁿ = |z|ⁿ (e^jφ)ⁿ = |z|ⁿ e^jφn

Wurzeln von komplexen Zahlen

In der Menge der komplexen Zahlen gibt es n verschiedene Lösungen (Wurzeln) für die Gleichung zⁿ = c.

Diese Lösungen können mit Hilfe der folgenden Gleichung berechnet werden:

z_k = |c|^1/n e^{j(φ/n + (k/n)2π)}
(für k=0,1,...,k-1)

φ...Polarwinkel der komplexen Zahl

Die Lösungen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen als Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks darstellen, dessen Umkreis um den Ursprung den Radius r = |c|^1/n besitzt.