Folgen
Bei Folgen handelt es sich um eine Menge reeller Zahlen, die einem Bildungsgesetz unterliegt, d.h. in irgendeiner Art geordnet ist.
Allgemeine Schreibweise einer Folge:
{an}∞n=1 = a1, a2, a3, a4, ...
a1, a2, a3, a4 werden als Glieder der Folge bezeichnet.
Desweiteren unterscheidet man zwei Bildungsgesetze:
1. explizites Bildungsgesetz
Die Folge wird hierbei gebildet, indem nacheinander eine Funktion von n die Werte für n eingesetzt werden.
an = f(n) (Funktion von n)
Beispiel:
an = 3n
{an}∞n=1 = {3n}∞n=1 = 3, 9, 27, 81, ...
2. implizites (rekursives) Bildungsgesetz
Beim impliziten Bildungsgesetz wird mit einem Startwert für die Folge begonnen. Aus diesem Startwert wird mit Hilfe einer Rekursionsformel der nächste Wert ermittelt usw.
an+1 = f(an)
Diese Gleichung wird auch als Rekursionsformel bezeichnet.
Beispiel:
{an} mit a1 = 2 (Startwert) und
an+1 = 2an + 3 (Rekursionsformel)
a2 = 2·2 + 3 = 7
a3 = 2·7 + 3 = 17
a4 = 2·17 + 3 = 37
usw.
Besondere Folgen:
1. Arithmetische Folge
Kennzeichen der arithmetischen Folge ist, dass zum Vorwert immer ein konstante Zahl addiert wird.
allgemein:
{an} mit a1 = c und an+1 = an + k
(c...Startwert, k...konstante Zahl)
1. Geometrische Folge
Kennzeichen der geometrischen Folge ist, dass der Vorwert mit einem bestimmten Wert q multipliziert wird.
allgemein:
{an} mit a1 = c und an+1 = an · q
für die Berechnung von q ergibt sich:
q = an+1/an